Question

7．（文科）底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=$\sqrt{6}$，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P-EAD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥PD，AC⊥BD，推出AC⊥平面PBD．然后证明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）取AD中点H，连结BH，说明BD⊥平面PAD，然后利用等体积法求解几何体的体积即可．

解答 （文科）试题解析：
（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{P-EAD}={V}_{E-PAD}=\frac{1}{2}{V}_{B-PAD}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△PAD×BH=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．