Question

19．某校高一（1）班的课外生物研究小组通过互联网上获知，某种珍稀植物的种子在一定条件下发芽成功率为$\frac{1}{3}$，小组依据网上介绍的方法分小组进行验证性实验（每次实验相互独立）．
（1）第一小组共做了5次种子发芽实验（每次均种下一粒种子），求5次实验至少有3次成功的概率；
（2）第二小组在老师的带领下做了若干次实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中，种子发芽成功则停止实验；否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，而该小组能供实验的种子只有n颗（n≥5，n∈N^*）．求第二小组所做的实验次数ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复实验，由此能求出至少3次成功的概率．
（2）ξ的可能取值为1，2，3，…，n，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题设可知这5次实验即为5次独立重复实验，
则至少3次成功的概率$P=C_5^3{（\frac{1}{3}）^3}{（1-\frac{1}{3}）^2}+C_5^4{（\frac{1}{3}）^4}（1-\frac{1}{3}）+C_5^5{（\frac{1}{3}）^5}=\frac{17}{81}$…（4分）
（2）ξ的可能取值为1，2，3，…，n，
P（ξ=1）=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=$（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{3}$）³×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{81}$，
…
P（ξ=n-1）=（$\frac{2}{3}$）^n-2×$\frac{1}{3}$，
P（ξ=n）=（$\frac{2}{3}$）^n-1．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	…	n-1	n
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	…	（$\frac{2}{3}$）n-2×$\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）n-1

∴$Eξ=1×\frac{1}{3}+2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}•\frac{1}{3}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}[1+2×\frac{2}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}]+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
令${S_n}=1+2×\frac{2}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}$
则$\frac{2}{3}{S_n}=1×\frac{2}{3}+2×{（\frac{2}{3}）^2}+…+（n-2）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
两式相减得$\frac{1}{3}{S_n}=1+\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}+…+{（\frac{2}{3}）^{n-2}}-（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
=$\frac{{1-{{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{2}{3}}}-（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
所以${S_n}=9-3（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
故$Eξ=\frac{1}{3}{S_n}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-2{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．