Question

3．已知实系数三次函数f（x）=ax³+bx²-bx-a（a≠0）．
（1）求证：x=1是函数f（x）的零点；
（2）当a与b满足什么关系时，函数f（x）还有其他零点？
（3）如果x₀是函数f（x）的零点，求证：$\frac{1}{{x}_{0}}$也是函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）将x=1代入，可得f（1）=0，结合零点定义可得结论；
（2）f（x）=（x-1）[ax²+（a+b）x+a]，方程ax²+（a+b）x+a=0有不等1的根时，满足条件；
（3）方程ax²+（a+b）x+a=0两根之积为1，进而得到答案．

解答 证明：（1）当x=1时，f（1）=a+b-b-a=0，
故x=1是函数f（x）的零点；
（2）f（x）=ax³+bx²-bx-a=a（x-1）（x²+x+1）+bx（x-1）=（x-1）[ax²+（a+b）x+a]，
当（a+b）²-4a²=（3a+b）（-a+b）≥0，但4a+b≠0时，
方程ax²+（a+b）x+a=0会有不等1的根，
函数f（x）还有其他零点；
（3）如果x₀=1，则x₀是函数f（x）的零点，此时$\frac{1}{{x}_{0}}$=1满足条件；
如果x₀≠1，则x₀是方程ax²+（a+b）x+a=0不等1的根，
由方程ax²+（a+b）x+a=0两根之积为1，
可得$\frac{1}{{x}_{0}}$也是方程ax²+（a+b）x+a=0不等1的根，
故$\frac{1}{{x}_{0}}$也是函数f（x）的零点．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，正确理解函数零点的定义，是解答的关键．