Question

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）*

1

ex

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．
其中所有正确说法的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,新定义,函数的性质及应用

分析：根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断．

解答： 解：由定义的运算知，f（x）=）=（e^x）*

1

ex

=ex•

1

ex

+ex*0+

1

ex

*0=1+e^x+

1

ex

，
①f（x）=1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3，当且仅当ex=

1

ex

，即x=0时取等号，
∴f（x）的最大值为3，故①正确；
②∵f（-x）=1+e-x+

1

e-x

=1+

1

ex

+ex=f（x），
∴f（x）为偶函数，故②正确；
③f'（x）=ex-

1

ex

=

e2x-1

ex

，
当x≤0时，f′（x）=

e2x-1

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，故③错误．
故正确说法的个数是2，
故选C．

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．本题的关键是对f（x）的化简．