Question

已知{a_n}满足an+1=

an

an+2

，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设c_n=（a_n+1）a_n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）对已知a_n+1=

an

an+2

等号两端取倒数，易证数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）将（1）中所求的a_n=

1

2n-1

代入c_n=（a_n+1）a_n+1，列项后整理可得c_n=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，从而可求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（1+

1

an

），即

1 an+1 +1

1 an +1

=2，又

1

a1

+1=2，
∴数列{

1

an

+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴

1

an

+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）∵c_n=（a_n+1）a_n+1=（

1

2n-1

+1）•

1

2n+1-1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴S_n=（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定与裂项法求和，对已知“a_n+1=

an

an+2

”等号两端取倒数是关键，考查观察、分析与运算能力，属于中档题．