Question

已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列{a_n}满足a₁＝2，

(a_n＋1－a_n)g(a_n)＋f(a_n)＝0(n∈N*)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)设b_n＝3f(a_n)－g(a_n＋1)，求数列{b_n}的最值及相应的n值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设f(x)＝a(x－1)2(a＞0)，则g(x)＝4(x－1)的图象与y＝f(x)的图象的两个交点为(1，0)，(＋1，) 　　∵＝4(a＞0)，∴a＝1， 　　∴f(x)＝(x－1)2　4分 　　(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1) 　　∵(an＋1―an)·4(an―1)＋(an－1)2＝0Þ (an－1)(4an＋1―3an―1)＝0 　　∵a1＝2，∴an≠1，∴4an＋1―3an―1＝0Þ an＋1－1＝(an―1)，且a1―1＝1 　　即数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列 　　∴an－1＝()n－1　8分 　　(3)bn＝3(an―1)2―4(an＋1－1)，令bn＝y，u＝()n－1，则 　　y＝3[(u―)2―]＝3(u―)2― 　　∵n∈N*，∴u的值分别为1，，，，…，经比较距最近， 　　∴当n＝3时，bn有最小值－，当n＝1时，bn有最大值0．　12分