Question

12．若$\frac{d}{dx}$${∫}_{0}^{{e}^{-x}}$f（t）dt=e^x，则f（x）=（　　）

• A． -x^-2
• B． -x²
• C． e^-2x
• D． -e^2x

Answer 1

分析 根据导数的函数先求原函数，再求函数的解析式即可．

解答 解：∵$\frac{d}{dx}$${∫}_{0}^{{e}^{-x}}$f（t）dt=e^x，
∴${∫}_{0}^{{e}^{-x}}$f（t）dt=e^x+c，
令f（t）的原函数为F（t），
∴F（t）|$\left.\begin{array}{l}{{e}^{-x}}\\{0}\end{array}\right.$=e^x+c，
∴F（e^-x）-F（0）=e^x+c，
∴f（e^-x）（-e^-x）=e^x，
∴f（e^-x）=-e^2x=-（e^-x）^-2，
∴f（t）=-t^-2
∴f（x）=-x^-2，
故选：A．

点评 本题主要考查导数、定积分，属于中等题．