Question

2．已知函数f（x）满足以下两个条件：
（1）当x≤0时，f（x）=x²+x；
（2）当x＞0时，f（x）=f（x-1）．
若不存在x₀使得f（x₀）-ax₀+2＜0，
则a的取值范围是（　　）

• A． [1+2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-∞，1-2$\sqrt{2}$]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，0]
• D． [-2，0]

Answer 1

分析 作出函数的图象，不存在x₀使得f（x₀）-ax₀+2＜0，可得对于任意x使得f（x）-ax+2≥0恒成立，只需要x≤0时，f（x）-ax+2≥0恒成立，即x²+x-ax+2≥0恒成立，分离参数，即可确定a的取值范围．

解答 解：由题意，0＜x≤1时，x-1≤0，f（x）=f（x-1）=（x-1）²+（x-1）=x²-x．
函数f（x）的图象如图所示：

∵不存在x₀使得f（x₀）-ax₀+2＜0，
∴对于任意x使得f（x）-ax+2≥0恒成立，
只需要x≤0时，f（x）-ax+2≥0恒成立，即x²+x-ax+2≥0恒成立，
x=0时恒成立；
x≠0时，a≥x+$\frac{2}{x}$+1，
∵-x-$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{2}$，
∴a≥-2$\sqrt{2}$+1．
又a≤0，∴-2$\sqrt{2}$+1≤a≤0
故选：C．

点评 本题考查求a的取值范围，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．