Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，于.

（1）求证：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）连接，证明，可得，由，得，由线面垂直的判定可得平面，从而得到；

（2）由平面，平面平面，可得，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）连接，

∵，，是公共边，

∴，

∴，

∵，∴，

又平面，平面，

∴平面，

又平面，

∴.

（2）由平面，平面平面，

所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示

所以，，，

则，，，，，.

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

又平面的一个法向量为，

设二面角所成的平面角为，

则，

显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.