Question

【题目】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)点为轨迹上任意一点，直线为轨迹上在点处的切线，直线交直线于点，过点作交轨迹于点，求的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）16.

【解析】

（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心轨迹C的方程；（2）由抛物线方程设出P点坐标，利用导数得到切线PR方程，代入y＝﹣1得点R横坐标，求PQ所在直线方程，和抛物线联立，由根与系数关系得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．

（1）设动圆圆心C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y；

（2）C的方程为x2＝4y，即，故，设P(t,)（t≠0），

PR所在的直线方程为，即，

令y=-1得点R横坐标，|PR|=；

PQ所在的直线方程为，即，

由，得，

由得点Q横坐标为，

∴|PQ|=，

，不妨设t＞0，,

记 ，则当t＝2时，f（t）min＝4,

则三角形面积的最小值为．