Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据离心率，面积的最大值是，结合性质，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用表示，解方程可得的值,即可得结果.

（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值

此时，是，又

解得，所求椭圆的方程为

（2）由（1）知，由得，

①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意

②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为

由消去得

设 则

所以

直线的方程为，同理可得

由,解得

故所求直线的方程为