Question

【题目】已知圆O：，直线l：．

若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求实数k的值；

若，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）过定点

【解析】

⑴运用弦长公式结合计算出圆心到直线的距离，即可求出斜率

⑵解法1：设切点，，求出两条切线方程，计算出直线的方程，从而得到定点坐标；解法2：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，然后再求定点坐标

（1），设到的距离为，则

点到的距离.

（2）解法1：设切点，，则圆在点处的切线方程为

，所以，即.

同理，圆在点处的切线方程为，

又点是两条切线的交点，，，

所以点的坐标都适合方程，

上述方程表示一条直线，而过、两点的直线是唯一的，

所以直线的方程为.

设，则直线的方程为，

即，由得，

故直线过定点.

解法2：由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，

设，则此圆的方程为：.

即：

又、在圆上，

两圆方程相减得

即，由得，

故直线过定点.