Question

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.

(1) 证明：DB＝DC；

(2) 设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

 (1) 证明：连结DE，交BC与点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，

∵ ∠ABE＝∠CBE，

∴ ∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

∵ DB⊥BE，

∴ DE是直径，∠DCE＝90°.

由勾股定理可得DB＝DC.

(2) 解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，

∴ BG＝.

设DE中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°，

∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

∴ CF⊥BF，

∴ Rt△BCF的外接圆半径等于.