Question

11．已知f（x）=log₄（x+b），点（1，6）关于直线y=x的对称点在函数f（x）的图象上．
（1）求b的值；
（2）若f（a+2）+f（a+1）-f（a+8）=1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）确定对称点（6，1）在函数f（x）的图象上，得出方程log₄（6+b）=1，求解即可得出b的值．
（2）化简得出log₄a+log₄（a-1）-log₂（a+6）=1．转化为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a+6＞0}\\{\frac{a（a-1）}{a+6}=4}\end{array}\right.$求解即可得出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（x+b），点（1，6）关于直线y=x的对称点在函数f（x）的图象上，
∴（6，1）在函数f（x）的图象上，
即log₄（6+b）=1，
得出b=-2．
（2）f（x）=log₄（x-2），
∵f（a+2）+f（a+1）-f（a+8）=1，
∴log₄a+log₄（a-1）-log₄（a+6）=1．
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a+6＞0}\\{\frac{a（a-1）}{a+6}=4}\end{array}\right.$即a=8或a=-3（舍去），
故实数a的值为：8．

点评 本题考查了函数的图象的对称性问题，解对数方程的方法，转化思想的运用，属于中档题．