Question

19．如图，在同一平面内，向量$\overrightarrow a$与单位向量$\overrightarrow i、\overrightarrow j$的夹角分别为30°、90°，已知$|\overrightarrow a|$=$2\sqrt{3}$
（1）用$\overrightarrow i$，$\overrightarrow j$作为基底表示向量$\overrightarrow{a}$
（2）若向量$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，求|$\overrightarrow{b}$|及$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$，分别求出m，n即可；
（2）由（1）结合数量积公式，进行$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的计算即可．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$，m|$\overrightarrow{i}$|=m=|$\overrightarrow{a}$|cos30°=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，n|$\overrightarrow{j}$|=n=$|\overrightarrow{a}|$sin30°=2$\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+\sqrt{3}\overrightarrow{j}$；


（2）$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}=|\overrightarrow{i}||\overrightarrow{j}|cos＜\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}＞$=cos120°=$-\frac{1}{2}$；|$\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}）^{2}}$=$\sqrt{1-2×\frac{1}{2}+1}$=1．
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（3$\overrightarrow{i}+\sqrt{3}\overrightarrow{j}$）（$\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$）=3${\overrightarrow{i}}^{2}$+（3+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$+$\sqrt{3}{\overrightarrow{j}}^{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}×1}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理以及向量的数量积运算，考查学生的运算能力．