Question

1．已知曲线C₁：x²+y²=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到曲线C₂．
（1）求曲线C₂的方程；
（2）求曲线C₂上所有点（x′，y′）中（x′-2）（y′-3）的最大值和最小值及对应的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由x²+y²=1、$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，可得曲线C₂的方程；
（2）利用曲线C₂的参数方程，即可求曲线C₂上所有点（x′，y′）中（x′-2）（y′-3）的最大值和最小值及对应的点的坐标．

解答 解：（1）由x²+y²=1、$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，可得曲线C₂的方程为（$\frac{x′}{2}$）²+（$\frac{y′}{3}$）²=1，
化简得：$\frac{x{′}^{2}}{4}+\frac{y{′}^{2}}{9}$=1．
（2）设x′=2cosθ，y′=3sinθ（θ∈[0，2π]），
则（x′-2）（y′-3）=6（cosθ-1）（sinθ-1）=6[sinθcosθ-（sinθ+cosθ）+1]
设sinθ+cosθ=t（t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]），sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴（x′-2）（y′-3）=3（t-1）²≥0
当t=1时，即x′=2，y′=0或x′=0，y′=3时取等号．

点评 本题主要考查伸缩变换，考查参数方程的运用，属于基础题．