Question

已知函数f（x）=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a^x，0＜a＜1；对于（a-3）x+4a，a＜3，又a^x＞1，所以（a-3）x+4a的最大值满足小于等于1，而（a-3）x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到a≤

1

4

，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a的取值范围．

解答： 解：∵对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立；
∴f（x₁）-f（x₂）与x₁-x₂异号，
即x₁-x₂＜0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在R上是减函数；
∴x＜0时，f（x）=a^x，0＜a＜1；
x≥0时，f（x）=（a-3）x+4a，a-3＜0，a＜3，又a^x＞1，（（a-3）x+4a）_max=4a≤1，
∴a≤

1

4

；
又0＜a＜1，∴0＜a≤

1

4

；
∴a的取值范围是(0，

1

4

]．
故答案为：(0，

1

4

]．

点评：考查单调性的定义，分段函数的单调性，指数函数的单调性，一次函数的单调性，以及对于单调性定义的利用．