Question

在平面向量中有如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使

OP

=（1-t）

OQ

+t

OR

．试利用该定理解答下列问题：
如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设

AM

=x

AE

+y

AF

，则x+y=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由图形知道E，M，C三点共线，从而存在实数λ，使

AM

=λ

AE

+(1-λ)

AC

，根据CF=2FA，可得AC=3AF，所以

AC

=3

AF

，所以

AM

=λ

AE

+3(1-λ)

AF

，这样即可得到：

λ=x 3(1-λ)=y

，所以消去λ可得关于x，y的方程，同样根据B，M，F三点共线又可得到一个关于x，y的方程，这两个方程联立即可求出x，y，从而求出x+y．

解答： 解：如图，E，M，C三点共线，
∴存在实数λ，使

AM

=λ

AE

+(1-λ)

AC

，
∵CF=2FA，
∴AC=3AF，∴

AM

=λ

AE

+3(1-λ)

AF

，又

AM

=x

AE

+y

AF

；
∴

λ=x 3(1-λ)=y

，∴3（1-x）=y     ①；
同样，B，M，F三点共线，所以存在μ，使

AM

=μ

AB

+(1-u)

AF

，
∵E为AB边的中点，∴AB=2AE，
∴

AM

=2μ

AE

+(1-μ)

AF

；
∴

x=2μ y=1-μ

，∴y=1-

1

2

x，
∴联立①可得：x=

4

5

，y=

3

5

，
∴x+y=

7

5

．

点评：考查对给出的定理的运用，共面向量基本定理，共线向量基本定理．