Question

14．已知幂函数f（x）=${x^{-{m^2}-2m+3}}$（m∈Z）为偶函数，且在区间（-∞，0）上是单调减函数，则$f（{\frac{1}{2}}）$的值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 根据函数的单调性得到关于m的不等式，求出m的整数值，根据函数的奇偶性取舍，求出f（x）的解析式，从而求出函数值即可．

解答 解：∵幂函数f（x）=x^-m2-2m+3（m∈Z）是偶函数，
在区间（-∞，0）上是减函数，
故f（x）在区间（0，+∞）递增，
∴-m²-2m+3＞0，即m²+2m-3＜0，
解得-3＜m＜1，
∵m为整数，∴m=-2，-1或0，
分别将m=-2，-1，0代入f（x）得m=-1时，
f（x）是偶函数，此时f（x）=x⁴，
∴f（$\frac{1}{2}$）=${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{1}{16}$，
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查幂函数的性质，是一道基础题．