Question

如图，直三棱柱中， ，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．

（1）若∥平面，求；
（2）求直线和平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、线面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取BC中点，由中位线及平行线间的传递性，得到∥∥，即四点共面，利用线面平行的性质，得∥，从而得到E是CN中点，从而得到的值；第二问，连结，利用直三棱柱，得平面，利用线面垂直的性质得，从而得到为矩形且，所以，利用线面垂直得到线线垂直，2个线线垂直得到线面垂直，由于是摄影，所以为线面角，在中解出的值.
试题解析：『法一』(1)取中点为，连结，   1分
∵分别为中点
∴∥∥，
∴四点共面，               3分
且平面平面
又平面，
且∥平面
∴∥ 
∵为的中点，∴是的中点，                  5分
∴．                                           6分

（2）连结，                                         7分
因为三棱柱为直三棱柱，∴平面
∴，即四边形为矩形，且
∵是的中点，∴，
又平面，
∴，从而平面                   9分
∴是在平面内的射影
∴与平面所成的角为∠
又∥，
∴直线和平面所成的角即与平面所成的角10分
设，且三角形是等腰三角形
∴，则，
∴                         
∴直线和平面所成的角的余弦值为．        12分
『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又
∴以为坐标原点，分别以
所在直线为轴，
建立如图空间直角坐标系．     1分

设，又三角形是
等腰三角形，所以
易得，，，
所以有， 
设平面的一个法向量为，则有，即  
，令，有                    4分
（也可直接证明为平面法向量）
设，，又，
∴
若∥平面，则，所以有，
解得，∴                                 6分
（2）由（1）可知平面的一个法向量是，
，，求得
设直线和平面所成的角为，，
则，                    11分
所以
∴直线和平面所成的角的余弦值为．         12分