Question

如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.

（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得为直角三角形，．
又，且是的中点，可得，从而证得平面，即证得
平面平面．
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用“向量法”求解.
确定平面的一个法向量为，
根据，得到直线与平面所成角的正弦值为．
试题解析：（1）证明：在中，，
，

，
则为直角三角形，
所以，．
又由已知，
且是的中点，可得
又，
平面
又面
平面平面．（6分）
（2）以点为坐标原点，建立如图
所示直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，则有
即
解得：，
所以，平面的一个法向量为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．（12分）