Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．
（1）求证：平面；
（2）当为何值时，二面角为．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）再由等腰三角形中线即为高线可得，由平面可得，由为矩形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得。再由等腰三角形中线即为高线可得，由线面垂直的判定定理可证得平面。（2）（空间向量法）以以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系。设。可得各点的坐标，从而可得个向量的坐标，根据向量垂直数量积为0先两个面的法向量.因为两法向量所成的角与二面角相等或互补，所以两法向量夹角的余弦值的绝对值等于。从而可得的值。
证明⑴ 因为平面，平面，
所以，因为是矩形，所以．因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是中点，所以，
因为 所以平面．
⑵
解：因为平面，，
所以以为坐标原点，、、所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，．
所以，．
设平面的法向量为，则所以
令，得，，
所以．
平面的法向量为．
所以．
所以．
所以当时，二面角为．