Question

14．计算S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1×\frac{1}{{2}^{2}}$+$2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+$n×\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
化为S_n=1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
故答案为：2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．