Question

5．已知球O与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各个面都相切，且AA₁⊥平面ABC，若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是27，三角形ABC的周长为6$\sqrt{3}$，则球O的体积为$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是27，求出球的半径，再求球O的体积．

解答 解：∵三角形ABC的周长为6$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
设球O的半径为r，则
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是27，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²+3×2$\sqrt{3}$×2r=27，
∴r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．
故答案为：$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．

点评 本题考查求球O的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．