Question

10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分另为a、b、c，且f（A）=2，b=2，$c=\sqrt{2}$，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式与和角公式化简f（x），利用正弦函数的性质得出f（x）的值域；
（2）根据f（A）=2和A的范围计算A，代入面积公式$\frac{1}{2}bcsinA$即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
∴f（x）的值域为[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]．
（2）∵f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{4}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\frac{π}{4}$＜2A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{9π}{4}$，
∴2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即A=$\frac{π}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，三角形的面积公式，属于中档题．