Question

19．已知椭圆的长轴长为22，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是（　　）

• A． [6，10]
• B． [6，8]
• C． [8，10]
• D． [8，11]

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得a=11，b=8，可得椭圆方程，设出P（m，n），代入椭圆方程，求出|OP|，由椭圆的范围可得|OP|的最值，进而得到所求范围．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得2a=22，即a=11，
2b=16，即b=8，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{121}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
设椭圆的点为P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{121}$+$\frac{{n}^{2}}{64}$=1，即为n²=64（1-$\frac{{m}^{2}}{121}$），
可得|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+64-\frac{64}{121}{m}^{2}}$
=$\sqrt{64+\frac{57}{121}{m}^{2}}$，
由-11≤m≤11，可得m=0时，|OP|取得最小值8；
m=±11时，|OP|取得最大值11．
则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是[8，11]．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是椭圆的范围，考查两点的距离公式和二次函数的最值求法，属于中档题．