Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，过点M（2，0）任作一条直线与C交于不同的两点A、B．
（1）求△OAB的面积的最大值；
（2）若椭圆C的左顶点为N，直线l：x=$\frac{3}{2}$，直线NA和NB交直线l与PQ两点，设A、B、P、Q的纵坐标分别为y₁、y₂、y₃、y₄．求证：$\frac{1}{y_1}$+$\frac{1}{y_2}$=$\frac{1}{y_3}$+$\frac{1}{y_4}$．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可求△OAB的面积的最大值；
（2）由（1）知：$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=-4t$，再求出$\frac{1}{y_3}$+$\frac{1}{y_4}$，即可证明结论．

解答 （1）解：联立方程组$\left.{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{{x^2}+3{y^2}=3}\end{array}}\right\}⇒（3+{t^2}）{y^2}+4ty+1=0⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{4t}{{3+{t^2}}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{1}{{3+{t^2}}}}\end{array}}\right.$
由△＞0⇒t²＞1
所以$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{\frac{{12（{t^2}-1）}}{{{{（{t^2}+3）}^2}}}}=\sqrt{\frac{12}{{{t^2}-1+\frac{16}{{{t^2}-1}}+8}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OM}||{{y_1}-{y_2}}|≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．----------------（6分）
（2）证明：由（1）知：$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=-4t$------------------（8分）
NA：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{3}}}（x+\sqrt{3}）⇒{y_3}=（\frac{3}{2}+\sqrt{3}）\frac{y_1}{{{x_1}+\sqrt{3}}}$，同理：${y_4}=（\frac{3}{2}+\sqrt{3}）\frac{y_2}{{{x_2}+\sqrt{3}}}$$\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}=\frac{1}{{\frac{3}{2}+\sqrt{3}}}（\frac{{{x_1}+\sqrt{3}}}{y_1}+\frac{{{x_2}+\sqrt{3}}}{y_2}）=-4t$．
故$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}$----------------（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．