Question

19．设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，而B向北直进，A出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度都一定，其比为3：1，问A、B两人在何处相遇？

Answer 1

分析 先根据题意，以村落中心为坐标原点，向东的方向为x轴建立直角坐标系，根据两人的速度关系设其速度及各点，将实际问题转化为数学问题，利用图形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直线的斜率公式可得直线的斜率，再利用直线与圆相切即可的直线方程，也就得到了该问题的解．

解答 解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，
v千米/小时，再设出发x₀小时，在点P改变方向，又经过y₀小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
将①代入k_PQ=-$\frac{{x}_{0}+{y}_{0}}{3{x}_{0}}$=-$\frac{3}{4}$．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-$\frac{3}{4}$x+b与圆O：x²+y²=9相切，
则有$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，b=$\frac{15}{4}$
答：A、B相遇点在离村中心正北$\frac{15}{4}$千米处．

点评 本题考查了圆的方程的综合应用，在这个题中注意解决实际问题的基本步骤，及题目条件的转化，体现了转化思想和数形结合思想，是个中档题．