Question

4．已知函数f（x）=ax²-x+2a-1在[1，2]上的最小值为t，若t≤1恒成立，则实数a的取值范围是a≤1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论a的取值，确定函数在区间[1，2]的最小值为g（a）．

解答 解：a=0，可得f（x）=-x-1在[1，2]上的最小值t=-3＜1成立；
a＜0，函数f（x）=ax²-x+2a-1在[1，2]上单调递减，t=f（2）=6a-3＜1成立；
a＞0，当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，对称轴为x=$\frac{1}{2a}$，
当0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在[1，2]上为增函数，t=f（1）=3a-2≤1，∴a≤1，∴$\frac{1}{2}$＜a≤1；
当1≤$\frac{1}{2a}$≤2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，t=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1≤1，符合题意；
当$\frac{1}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（x）在[1，2]上为减函数，t=f（2）=6a-3≤1，∴a≤$\frac{2}{3}$，∴0＜a＜$\frac{1}{4}$．
综上可得a≤1．
故答案为：a≤1．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数性质的判断和应用，正确分类讨论是关键．