Question

设f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，若f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：函数f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（

2

3

，+∞）上有解，只需f′（

2

3

）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：∵f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，
∴函数的导数为f′（x）=-x²+x+2a，
若函数f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间，
即f′（x）＞0在（

2

3

，+∞）上有解
∵f′（x）=-x²+x+2a，
∴只需f′（

2

3

）＞0即可，
由f′（

2

3

）=-

4

9

+

2

3

+2a=2a+

2

9

＞0，解得a＞-

1

9

，
故答案为：a＞-

1

9

．

点评：本题考查了函数的单调性，以及一元二次函数的性质的考查，综合考查导数的应用．