Question

【题目】已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：函数有且只有一个零点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；

（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解，利用导数可得函数在单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；

（1）当时，函数，，，

，，

所以函数在点处的切线方程是．

（2）函数的定义域为，

要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，

即只需关于x的方程在上有且只有一个解．

设函数，

则，

令，

则/span>，

由，得．

x
	单调递减	极小值	单调递增

由于，

所以，

所以在上单调递增，

又，，

①当时， ，函数在有且只有一个零点，

②当时，由于，所以存在唯一零点．

综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．