题目内容
【题目】如图，椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，且
，
为等边三角形，过点
的直线与椭圆
在
轴右侧的部分交于
、
两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形
面积的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据
坐标和
为等边三角形可得
，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线
斜率不存在时，易求
坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为
，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定
的取值范围；利用
，代入韦达定理的结论可求得
关于的表达式，采用换元法将问题转化为
，
的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
（1）
，
，
为等边三角形，
，
椭圆的标准方程为．
（2）设四边形
的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得
，
，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设
，
，
联立
得：
，
，
，
．
，
，
，
，
面积
．
令
，则
，
，
令
，则
，，
在定义域内单调递减，
．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
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