Question

【题目】已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线：与圆：相切，且直线与椭圆相交于、两点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0

【解析】

（1）由抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点，可得，结合离心率，可求，进而可求出，从而可求椭圆的方程.

（2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即，设，，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，，，从而可求.

解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即．

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，

所以，则，所以椭圆的方程为．

（2）由圆的方程可知，圆心为 ，半径为 ；由于直线与圆相切，

故圆心到直线的距离，整理得，

则联立直线和椭圆的方程，即，消去，得，设，，则，，则

．

所以.