题目内容
【题目】如图，已知抛物线
的焦点为
.
若点
为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交
轴于点
，证明：
.
，
是抛物线上两点，线段
的垂直平分线交轴于点
(不与
轴平行)，且
.过轴上一点
作直线
轴，且
被以
为直径的圆截得的弦长为定值，求
面积的最大值.
【答案】
证明见解析； 
.
【解析】
设
的坐标，求出在处的导数，进而求出在处的切线的方程，令
求出
的坐标，进而求出
的值，到准线的距离为
的值可得
，进而可得结论；
设直线
的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，再求线段的中点坐标，求出的中垂线的方程，将
点代入中垂线的方程可得参数的关系，设
的坐标，由以
为直径的圆截直线
的弦长为定值可得的坐标，进而求出到直线的距离，代入面积公式可得关于直线斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值.
解：由抛物线的方程可得
，准线方程：
，设
，
由抛物线的方程可得
，所以在处的切线的斜率为：
，
所以在处的切线方程为：
，
令，可得
，
即
，
所以
，而到准线的距离
，由抛物线的性质可得
所以，
，
可证得：
.
设直线的方程为：
，
，
，
直线与抛物线联立
，
整理可得：
，
，
即
，
，
，
，
所以的中点坐标为：
，
所以线段的中垂线方程为：
，
由题意中垂线过
，所以
，即
，①
由抛物线的性质可得：
，
所以
，即，②
设
，
，
的中点的纵坐标为
，
所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：
，
要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得
，时相交弦长的平方为定值
，即
所以到直线的距离为：
，
而弦长
，
所以
，
将①代入可得
，
设
为偶函数，
只看
的情况即可，
令
，
当
，
，
单调递增；
当
，
，单调递减，
所以
且
上，
为最大值，
所以
的最大值为：
.
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