Question

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=1

（1）求异面直线A₁B与 B₁C所成的角；

（2）求证：平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

Answer 1

考点：

平面与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；

（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．

解答：

解：（1）连接A₁D、DB．由正方体可得，∴对角面A₁B₁CD是一个平行四边形，∴B₁C∥A₁D．

∴∠BA₁D或其补角即为异面直线A₁B与 B₁C所成的角，

∵△A₁BD是一个等边三角形，

∴∠BA₁D=60°即为异面直线A₁B与 B₁C所成的角；

（2）证明：由（1）可知：A₁D∥B₁C，而A₁D⊄平面B₁CD₁，B₁C⊂平面B₁CD₁，

∴A₁D∥平面B₁CD₁，

同理可得A₁B∥平面B₁CD₁，

又∵A₁D∩A₁B=A₁，

∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁．

点评：

熟练掌握线面、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角是解题的关键．