题目内容
8．
某生产车间为了检测其加工的零件的质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测指标评分．若检测指标评分大于60分的零件为合格零件，指标评分不超过40分的零件将直接被淘汰，指标评分在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．现质检员小张检测出200个合格零件，根据指标评分绘制的频率分布直方图如图所示，（1）求出频率分布直方图中a的值；
（2）估计这200个零件指标评分的平均数和中位数；
（Ⅱ）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如下表：
| 零件检测指标评分所在区间 | （40，50] | （50，60] |
| 每个零件个体被修复的概率 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ |
①求这3个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率；
②记这3个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1，能求出a．
（2）利用频率分布直方图能估计这200个零件指标评分的平均数和中位数．
（Ⅱ）①这3个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的对立事件是这3个零件全不被修复而淘汰，由此利用对立事件概率计算公式能求出这3个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率．
②由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
（0.01+a+0.02+0.03）×10=1，
解得a=0.04．
（2）估计这200个零件指标评分的平均数$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82，
由频率分布直方图，得前两个小矩形的面积之和为0.5，
∴估计这200个零件指标评分的中位数为80．
（Ⅱ）①这3个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的对立事件是这3个零件全不被修复而淘汰，
∴这3个零件中，至多有2个不被修复而淘汰的概率：
p=1-$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{2}{3}$．
②由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{3}$，
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
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