Question

（2013•青岛一模）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

2

3

和P，且各株大树是否成活互不影响．已知两种大树各成活1株的概率为

2

9

．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率；
（Ⅲ）用x，y分别表示甲、乙两种大树成活的株数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

分析：设“甲种大树恰有i株成活”为事件A_i（i=0，1，2），则P（A_i）=

C

i 2

(

2

3

)i(

1

3

)2-i，设“乙种大树恰有i株成活”为事件B_i（i=0，1，2），则P（B_i）=

C

i 2

Pi(1-P)2-i．
（Ⅰ）由题意可得两种大树各成活1株的概率P=P（A₁B₁），代入可得P的方程，解之可得；
（Ⅱ）设事件为C，则P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀），代入可得；
（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，分别可求其概率，可得分布列，由期望的定义可得答案．

解答：解：设“甲种大树恰有i株成活”为事件A_i（i=0，1，2），则P（A_i）=

C

i 2

(

2

3

)i(

1

3

)2-i；
设“乙种大树恰有i株成活”为事件B_i（i=0，1，2），则P（B_i）=

C

i 2

Pi(1-P)2-i．
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率P=P（A₁B₁）
=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

P(1-P)=

2

9

，即（2P-1）²=0，
解得P=

1

2

   …（3分）
（Ⅱ）设“甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数”为事件C，
则P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀）
=(

2

3

)2×

C

1 2

×

1

2

×

1

2

+(

2

3

)2×

1

2

×

1

2

+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×(

1

2

)2=

4

9

所以，甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率为

4

9

．…（6分）
（Ⅲ）由题意知，ξ所有可能取值为0，1，2．…（7分）
P（ξ=0）=P（A₂B₂）+P（A₁B₁）+P（A₀B₀）
=(

2

3

)2×(

1

2

)2+

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 2

×(

1

2

)2+(

1

3

)2×(

1

2

)2=

13

36

，
P（ξ=2）=P（A₂B₀）+P（A₀B₂）=(

2

3

)2×(

1

2

)2+(

1

3

)2×(

1

2

)2=

5

36

，
∴P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)=

1

2

所以ξ服从的分布列为：

ξ	0	1	2
P	13 36	1 2	5 36

…（10分）
故Eξ=0×

13

36

+1×

1

2

+2×

5

36

=

7

9

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．