Question

【题目】已知圆：与直线：，动直线过定点.

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于、两点，点M是PQ的中点，直线与直线相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线的方程为或（2）为定值，详见解析

【解析】

（1）假设直线方程，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据向量加法三角形法和数量积公式把化为，联立两直线方程求出点的坐标，把向量积用坐标表示，化简即可的得到结果.

解：（1）当直线的斜率不存在时，

直线的方程为，此时与圆相切，符合题意；

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，即，

若直线与圆相切，则圆心 到直线的距离等于半径1，

所以，解得 ，

所以直线的方程为，即.

综上，直线的方程为或.

直线的方程为或．

（2）∵⊥，

∴

若直线与轴垂直时，不符合题意；

所以的斜率存在，设直线的方程为，

则由，即．

∴，

从而．

综上所述， ．