Question

【题目】已知函数，.

(Ⅰ)若，解不等式；

(Ⅱ)设是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先去绝对值，再解不等式；（Ⅱ）先求出两个已知零点，再讨论.

（Ⅰ）

（1）当时，即 得

若 即时，不等式解集为

若 即时，不等式解集为

（2）当时，即

若 即时，无解

若 即时

由得，

又，

不等式解集为

综上（1）（2）可知

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

（Ⅱ），有4个不同零点

，

不妨设，则

①若成等差数列，则，此时，不合题意

②若成等差数列，同①知不合题意

③若成等差数列，则，

，

均舍去

④若成等差数列，则

，或（舍去）

综上可知：存在符合题意.