Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0

（1）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）F（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）21或20

【解析】

（1）特值法：ω＝1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；

（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.

（1）f（x）＝2sinx，

F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），

F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），

所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）f（x）＝2sin2x，

将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2（x）+1的图象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．

令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），

因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，

当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．

综上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．