Question

3．求函数y=x²-2ax-2在[-a，1]上的最值．

Answer 1

分析 配方法得到函数的对称轴为x=a，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[-a，1]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²-a²+2，它的对称轴方程为x=a，
①当a＜0时，函数f（x）=x²-2ax+2在区间[-a，1]上是增函数，
故函数的最小值为f（-a）=3a²-2，最大值为f（1）=-1-2a．
②当0≤a＜$\frac{1}{3}$时，函数的最小值为f（a）=2-a²，最大值为f（1）=-1-2a．
③当$\frac{1}{3}$≤a＜1时，函数的最小值为f（a）=2-a²，最大值为f（-a）=3a²-2．
④当a≥1时，函数f（x）=x²-2ax+2在区间[-a，1]上是减函数，
故函数的最大值为f（1）=-1-2a，最小值为f（-a）=3a²-2．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．