Question

【题目】四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.

（1）求证：BG面PAD；

（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG面DEF.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）F为PC中点时满足题意，具体见解析

【解析】

（1）连结BD，证明BGAD，因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，即可证明BG垂直于面PAD；

（2）点E是 BC的中点，点F为PC的中点，连接GC交DE于点H，证明PGFH ，因为面DEF，面DEF，即可证明PG面DEF.

证明：（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且，

所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BGAD；

因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，

平面，

所以BG面PAD.

（2）当点F为PC的中点时，PG面DEF，

连结GC交DE于点H，

因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形，

所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点，

所以FH是三角形PGC的中位线，所以PGFH ，

因为面DEF，面DEF，

所以PG面DEF.

综上：当点F为PC的中点时，PG面DEF.