Question

【题目】已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N.

（1）求四边形面积的取值范围；

（2）记线段和的中点分别为E，F，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）设直线：，：，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理和弦长公式，，同理，，利用，即可求出四边形面积的取值范围；

（2）由（1）知，可求出，由此可求出点的坐标，同理可求出点的坐标，再求出，利用点斜式表示出直线的方程，化简后即可证明直线恒过定点.

（1）由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0.

设：（），，，

则：（）.

因为联立直线与抛物线的方程，有，

其中，由韦达定理，有.

由上可得，

同理，

则四边形面积.

令.则.

所以，当且仅当，即时，S取得最小值12，

且当时，.

故四边形面积的范围是.

（2）由（1）知，，则，

所以中点E的坐标为，同理点F的坐标为.

于是，直线的斜率为，

则直线的方程为：，

所以直线恒过定点.