Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=2，a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

）．b_n=

an+1

an-1

，则数列{b_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系得到b_n+1=b_n²，然后利用归纳推理即可得到结论．

解答： 解：∵b_n=

an+1

an-1

，∴b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=

an2+2an+1

an2-2an+1

=

(an+1)2

(an-1)2

=（

an+1

an-1

）²=b_n²＞0，
∵a₁=2，∴b₁=

a1+1

a1-1

=

2+1

2-1

=3，
则b₂=3²，
b₃=（3²）²=3⁴，
b₄=（3⁴）²=3⁸，
b₅=（3⁸）²=3¹⁶，
…
b_n=3 2n-1，
故答案为：b_n=3 2n-1

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件得到b_n+1=b_n²是解决本题的关键．考查学生的推理能力，有一定的难度．