Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，PC=4，PA=2，E是PA的中点，平面PAC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=F，连接EF，则EF∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）由余弦定理得$AC=2\sqrt{3}$，从而PA²+AC²=PC²，进而PA⊥AC，以A为原点，分别以AC，AP所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角P-BD-E大小的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=F，连接EF，
∵E，F分别为PA，AC的中点，∴EF∥PC，…（1分）
∵EF?平面BDE，PC?平面BDE，…（3分）
∴PC∥平面BDE．…（3分）
解：（Ⅱ）△ABC中，∠ABC=180°-60°=120°，AB=BC=2，
由余弦定理得AC²=4+4-2×2×2×cos120°=12，∴$AC=2\sqrt{3}$．
在△PAC中，∵$PC=4，PA=2，AC=2\sqrt{3}$满足PA²+AC²=PC²，
∴所以PA⊥AC，…（4分）
又∵平面PAC⊥平面ABCD且平面PAC∩平面ABCD=AC，…（5分）
∴PA⊥平面ABCD．…（5分）
如图，以A为原点，分别以AC，AP所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，…（6分）
则$A（{0，0，0}），P（{0，0，2}），E（{0，0，1}），B（{1，\sqrt{3}，0}），D（{-1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{DB}=（{2，0，0}），\overrightarrow{EB}=（{1，\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow{PB}=（{1，\sqrt{3}，-2}）$．…（7分）
设平面EBD的一个法向量为n=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{n}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{n}•\overrightarrow{EB}=x+\sqrt{3}y-z=0.\end{array}\right.$，整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\sqrt{3}y\end{array}\right.$，
令y=1，得${n}=（{0，1，\sqrt{3}}）$．…（9分）
设平面PDB的一个法向量为m=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{m}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{m}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0.\end{array}\right.$整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$，
令y=2，得${m}=（{0，2，\sqrt{3}}）$，…（10分）
则$cos＜{n}，{m}＞=\frac{{{n}•{m}}}{{|{n}|•|{m}|}}=\frac{2+3}{{2•\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
所以二面角P-BD-E大小的余弦值为$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．