Question

【题目】已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） .

【解析】

（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，可得函数是上的减函数，是上的增函数，函数在上的最小值为.， 且当时，有 .，从而可求的取值范围.

(Ⅰ)由可得

.

当时,,.

所以 曲线在点处的切线方程为，

即.

（Ⅱ） ，

解得或.

当，即时，在区间上，，

所以是上的增函数.

所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.

当，即时，随的变化情况如下表

		↘		↗

由上表可知函数在上的最小值为.

因为 函数是上的减函数，是上的增函数，

且当时，有 .

所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是

.