Question

【题目】设函数， ．

（1）求的单调区间和极值；

（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.

试题解析：（Ⅰ）由，（）得

.

由解得.

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

在处取得极小值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.

因为存在零点，所以，从而.

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

当时，在区间上单调递减，且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.