Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆： 的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动.

①证明： 为常数；

②当时，利用上述结论求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形得到，再由点在椭圆上得到方程，最后解方程组即可得到椭圆的标准方程.(2)第（2）问第①问，先求出，再利用已知条件化简得到为常数.第②问，先求出的三角函数表达式，再研究它的取值范围.

试题解析：

(1)由两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，可知，

所以椭圆的方程为，

又点在椭圆上，

所以，

故所求椭圆的标准方程为.

（2）①易知且不与轴垂直，

设， ，

由对称性可知，

所以，从而，

因为点， 在椭圆上，

所以 ，

因此为常数.

②当时，可知，

由 ，

因此直线的方程为，

令，所以，且已知，

因此.

设（其中为参数），由点到直线的距离公式可知

（其中），

因此

，

当时， 最大为，且此时点与不重合.

无最小值.

所以的取值范围是.