题目内容
已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．
（1）若|
+
|=
（O为坐标原点），求
与
的夹角；
（2）若
⊥
，求tanα的值．
（1）若|
| OA |
| OC |
| 7 |
| OB |
| OC |
（2）若
| AC |
| BC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由
+
=（2+cosα，sinα），利用向量模的计算公式可得（2+cosα）2+sin2α=7，化简整理可得cosα=
，又0＜α＜π，即可解得α．设
与
的夹角为θ，θ∈[0，π]．利用向量夹角公式即可得出．
（2）
⊥
，可得
•
=0，cosα+sinα=
，又sin2α+cos2α=1，联立解得即可．
| OA |
| OC |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
（2）
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）由
+
=（2+cosα，sinα），|
+
|=
，
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，
化为cosα=
，
又0＜α＜π，解得α=
．
∴
=(
，
)，设
与
的夹角为θ，θ∈[0，π]．
则cosθ=
=
，
∴θ=
．即
与
的夹角为
．
（2）∵
=（cosα-2，sinα），
=（cosα，sinα-2）．
∵
⊥
，
∴
•
=cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=1-2cosα-2sinα=0，
∴cosα+sinα=
，
又sin2α+cos2α=1，
∵0＜α＜π，
联立解得sinα=
，cosα=
．
∴tanα=
=
=-
．
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 7 |
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，
化为cosα=
| 1 |
| 2 |
又0＜α＜π，解得α=
| π |
| 3 |
∴
| OC |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| OB |
| OC |
则cosθ=
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
∴θ=
| π |
| 6 |
| OB |
| OC |
| π |
| 6 |
（2）∵
| AC |
| BC |
∵
| AC |
| BC |
∴
| AC |
| BC |
∴cosα+sinα=
| 1 |
| 2 |
又sin2α+cos2α=1，
∵0＜α＜π，
联立解得sinα=
1+
| ||
| 4 |
1-
| ||
| 4 |
∴tanα=
| sinα |
| cosα |
1+
| ||
1-
|
4+
| ||
| 3 |
点评：本题考查了向量模的计算公式、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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•
的值是（ ）
| AE |
| AF |
| A、a2 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则