Question

已知△ABC中，点A、B的坐标分别为，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），确定椭圆的几何量，即可求出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值．
解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则c=，
∵C，A，
∴2a=|AC|+|BC|=4，b==，
∴椭圆方程为（5分）
（2）直线l的方程为y=-（x-m），令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=-（x-m）代入椭圆方程，消去y可得6x²-8mx+4m²-8=0
∴，
若Q恰在以MN为直径的圆上，则，
即m²+1-（m+1）（x₁+x₂）+2x₁x₂=0，
∴3m²-4m-5=0
解得．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．